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<!DOCTYPE html>

<title>Tensor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Tensor</h1>

</header>

</div>

Ein Tensor ist eine <a href="Multilineare_Abbildung" title="Multilineare Abbildung">multilineare Abbildung</a>, die eine bestimmte Anzahl von <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> auf einen Vektor abbildet und eine <a href="Universelle_Eigenschaft" title="Universelle Eigenschaft">universelle Eigenschaft</a> erfüllt.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Er ist ein <a href="Mathematisches_Objekt" title="Mathematisches Objekt">mathematisches Objekt</a> aus der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a>, das in vielen Bereichen, so auch in der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>, Anwendung findet und den Begriff der <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">linearen Abbildung</a> erweitert. Der Begriff wurde ursprünglich in der <a href="Zustand_(Quantenmechanik)#Zustände_von_zusammengesetzten_Systemen,_Tensorraum" title="Zustand (Quantenmechanik)">Quantenphysik</a> eingeführt und erst später mathematisch präzisiert.

In der Differentialgeometrie und den physikalischen Disziplinen werden meist keine Tensoren im Sinn der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a> betrachtet, sondern es werden <a href="Tensorfeld" title="Tensorfeld">Tensorfelder</a> behandelt, die oft vereinfachend ebenfalls als Tensoren bezeichnet werden. Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums einen Tensor zuordnet. Viele physikalische Feldtheorien handeln von Tensorfeldern. Das prominenteste Beispiel ist die <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeine Relativitätstheorie</a>. Das mathematische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Tensorfeldern befasst, heißt <a href="Tensoranalysis" title="Tensoranalysis">Tensoranalysis</a> und ist ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Begriffsgeschichte">Begriffsgeschichte</h2></div>

Das Wort Tensor (abgeleitet vom Partizip Perfekt von <a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> tendere ‚spannen‘) wurde in den 1840er Jahren von <a href="William_Rowan_Hamilton" title="William Rowan Hamilton">William Rowan Hamilton</a> in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner <a href="Quaternion" title="Quaternion">Quaternionen</a>, also keinen Tensor im modernen Sinn. <a href="James_Clerk_Maxwell" title="James Clerk Maxwell">James Clerk Maxwell</a> scheint den <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a>, den er aus der <a href="Elastizit%C3%A4tstheorie" title="Elastizitätstheorie">Elastizitätstheorie</a> in die <a href="Elektrodynamik" title="Elektrodynamik">Elektrodynamik</a> übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.

In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">Skalar</a>, <a href="Vektor" title="Vektor">Vektor</a>, <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a>, wird das Wort Tensor erstmals von <a href="Woldemar_Voigt_(Physiker)" title="Woldemar Voigt (Physiker)">Woldemar Voigt</a> in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten <a href="Gregorio_Ricci-Curbastro" title="Gregorio Ricci-Curbastro">Gregorio Ricci-Curbastro</a> und dessen Schüler <a href="Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Tullio Levi-Civita</a> um 1890 die Tensorrechnung auf <a href="Riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Riemannsche Mannigfaltigkeit">riemannschen Mannigfaltigkeiten</a>.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, aus dem sich <a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">einsteinsche Summenkonvention</a> ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arten_von_Tensoren">Arten von Tensoren</h2></div>

Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">Skalare</a> als Tensoren vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0)}" loading="lazy">, Spaltenvektoren als Tensoren vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b53cc1773694affcc1d4d6c2c778d43156a1206.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,0)}" loading="lazy"> und <a href="Kovektor" class="mw-redirect" title="Kovektor">Kovektoren</a> (bzw. Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c79c6838e423c1ed3c7ea532a56dc9f9dae8290b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,1)}" loading="lazy">. Tensoren höherer Stufe definiert man als <a href="Multilineare_Abbildung" title="Multilineare Abbildung">multilineare Abbildungen</a> mit Tensoren geringerer Stufe als Argumenten und Abbildungswerten. So kann etwa ein Tensor vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,1)}" loading="lazy"> als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als <a href="Bilineare_Abbildung" title="Bilineare Abbildung">bilineare Abbildung</a> mit einem Vektor und einem Kovektor als Argumente aufgefasst werden.

Beispielsweise ist der mechanische <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a> in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der <a href="Spannung_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Spannung (Mechanik)">Spannung</a>) oder ein Vektor (eine <a href="Hauptspannungsrichtung" class="mw-redirect" title="Hauptspannungsrichtung">Hauptspannungsrichtung</a>) reichen nicht immer zur Beschreibung des Spannungszustandes eines <a href="K%C3%B6rper_(Physik)" title="Körper (Physik)">Körpers</a> aus. Als Tensor vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32ba2704e55769d5190aaa9493a088b7df8e3996.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,2)}" loading="lazy"> aufgefasst ist er eine lineare Abbildung, die einem Flächenelement (als Vektor) die darauf wirkende Kraft (als Kovektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung, die einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die bei der Verschiebung des Flächenstücks unter dem Einfluss der wirkenden Spannung verrichtet wird.

Bezüglich einer fest gewählten <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Vektorraumbasis</a> erhält man die folgenden Darstellungen der verschiedenen Typen von Tensoren:

<ul><li>Ein Skalar durch eine einzelne Zahl</li>

<li>Ein Vektor durch einen Spaltenvektor</li>

<li>Ein Kovektor durch einen Zeilenvektor</li>

<li>Ein Tensor zweiter Stufe durch eine Matrix</li></ul>

Die Anwendung des Spannungstensors auf ein Flächenelement ist dann z. B. durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben. Die Koordinaten von Tensoren höherer Stufe können entsprechend in ein höherdimensionales Schema angeordnet werden. So können diese Komponenten eines Tensors anders als die eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als ein oder zwei Indizes haben. Ein Beispiel für einen Tensor dritter Stufe, der drei Vektoren des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> als Argumente hat, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funktion der Spalten dieser Matrix. Bezüglich einer <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> wird er durch das <a href="Levi-Civita-Symbol" title="Levi-Civita-Symbol">Levi-Civita-Symbol</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21525193117bdfc0f3ac71b8ec46e3b6d0637daf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.417ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}" loading="lazy"> repräsentiert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ko-_und_Kontravarianz_von_Vektoren">Ko- und Kontravarianz von Vektoren</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kovarianz_(Physik)" title="Kovarianz (Physik)">Kovarianz (Physik)</a> und <a href="Kontravarianz_(Physik)" class="mw-redirect" title="Kontravarianz (Physik)">Kontravarianz (Physik)</a></div>

Die Begriffe ko- und kontravariant beziehen sich auf die <a href="Koordinatendarstellung" class="mw-redirect" title="Koordinatendarstellung">Koordinatendarstellungen</a> von Vektoren, <a href="Linearform" title="Linearform">Linearformen</a> und werden auch, wie später im Artikel beschrieben, auf Tensoren angewandt. Sie beschreiben, wie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich eines Basiswechsels im zugrundeliegenden Vektorraum verhalten.

Legt man in einem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> eine Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (e_{1},\dotsc ,e_{n})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (e_{1},\dotsc ,e_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c86f0e9d307139bf54d0a2b969bd2950bf7cf595.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.427ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (e_{1},\dotsc ,e_{n})}" loading="lazy"> fest, so kann jeder Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99886ebbde63daa0224fb9bf56fa11b3c8a6f4fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.756ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in V}" loading="lazy"> dieses Raumes durch ein eindeutiges Zahlentupel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2d8143fed9010b84f0a51bc4bd6c93036ea2605.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.92ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})}" loading="lazy"> – seine Koordinaten – mittels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f22ab4c4501e72247d3989016aed5fd435e4b11c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.133ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}}" loading="lazy"> dargestellt werden. Legt man der Koordinatendarstellung eine andere Basis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> zugrunde, so werden sich die Koordinaten (ein und desselben Vektors) bezüglich dieser neuen Basis ändern. Der Übergang zu einer anderen Basis bedingt also eine Transformation der Koordinatendarstellung. Dabei gilt: Ist die neue Basis durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle e'_{j}=\sum _{k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}}">

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle e'_{j}=\sum _{k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0cdeebd3b90709357c53c04255f36de7a0c0165.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.322ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle e'_{j}=\sum _{k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}}" loading="lazy"> in der alten Basis bestimmt, so ergeben sich die neuen Koordinaten durch Vergleich in

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}=\sum _{j}e'_{j}\,x'^{j}=\sum _{j,k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}\,x'^{j},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/890d092be2944514c3e037cb4eac5c3d2cfdf76b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:41.726ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle v=\sum _{k}e_{k}\,x^{k}=\sum _{j}e'_{j}\,x'^{j}=\sum _{j,k}e_{k}\,A^{k}{}_{j}\,x'^{j},}" loading="lazy"></dd></dl>

also:

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}&=\sum _{j}A^{k}{}_{j}\,x'^{j}\\x'\,^{j}&=\sum _{k}(A^{-1})^{j}{}_{k}\,x^{k}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2884b759bc4c413e1c5d622bdc574ccf812c93d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; width:21.205ex; height:11.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}&=\sum _{j}A^{k}{}_{j}\,x'^{j}\\x'\,^{j}&=\sum _{k}(A^{-1})^{j}{}_{k}\,x^{k}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dreht man zum Beispiel eine <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">orthogonale Basis</a> in einem dreidimensionalen euklidischen Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 30^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 30^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42f29df9c101d2a8dae3f1552342cfe4c3adb76c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 30^{\circ }}" loading="lazy"> um die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse, so drehen sich die Koordinatenvektoren im <a href="Koordinatenraum" title="Koordinatenraum">Koordinatenraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy"> ebenfalls um die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy">-Achse, aber in der entgegengesetzten Richtung, also um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -30^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -30^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1bed524391947bc1edee23bd8145bdb68d93eb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.187ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -30^{\circ }}" loading="lazy">. Dieses der Basistransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten nennt man kontravariant. Oft werden Vektoren zur Abkürzung der Notation mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, sodass Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet werden.

Eine Linearform oder ein Kovektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in V^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in V^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e44d232ea0e7b678175eb7ed87e8106e907ea815.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.299ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in V^{*}}" loading="lazy"> ist dagegen eine skalarwertige lineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \colon V\to \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \colon V\to \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ca623608457efd14ff50b7e761b2d04b249df4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.731ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \colon V\to \mathbb {K} }" loading="lazy"> auf dem Vektorraum. Man kann ihr als Koordinaten ihre Werte auf den Basisvektoren, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{k}=\alpha (e_{k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{k}=\alpha (e_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57deac9e2a32d50c4ea8945855bbe5c1c5834c57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.144ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{k}=\alpha (e_{k})}" loading="lazy">, zuordnen. Die Koordinatenvektoren einer Linearform transformieren sich wie das Basistupel als

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha '_{j}=\alpha (e'_{j})=\sum _{k}\alpha (e_{k}\,A^{k}{}_{j})=\sum _{k}\alpha _{k}\,A^{k}{}_{j},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a0d2567f290ef57051ec517437fdabffadd5743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:41.417ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha '_{j}=\alpha (e'_{j})=\sum _{k}\alpha (e_{k}\,A^{k}{}_{j})=\sum _{k}\alpha _{k}\,A^{k}{}_{j},}" loading="lazy"></dd></dl>

weshalb man dieses Transformationsverhalten kovariant nennt. Identifiziert man wieder Linearformen mit ihren Koordinatenvektoren, so bezeichnet man auch allgemein Linearformen als kovariant. Hierbei geht, wie bei Vektoren, die zugrundeliegende Basis aus dem Kontext hervor. Man spricht in diesem Kontext auch von Dualvektoren.

Diese Bezeichnungen werden auf Tensoren übertragen. Dies wird im nächsten Abschnitt zur Definition der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f3e3778daed31bfa6149169529acb5d9fcc8b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,s)}" loading="lazy">-Tensoren erklärt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="(r,s)-Tensorraum">(r,s)-Tensorraum</h3></div>

Im Folgenden sind alle Vektorräume endlichdimensional über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(E;K)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(E;K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a308e0d9139737961baf29c8d8673a1d3e2bf9a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.268ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(E;K)}" loading="lazy"> bezeichne man die Menge aller <a href="Linearform" title="Linearform">Linearformen</a> aus dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> in den <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> und – allgemeiner – mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(E_{1};E_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(E_{1};E_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54b87f377773e9bc4626a5545ec49d25f9ea88bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.965ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(E_{1};E_{2})}" loading="lazy"> die Menge aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-linearen Abbildungen eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> in einen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy">. Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1},\dotsc ,E_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1},\dotsc ,E_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecf3edab048cd695230e2ed1bca57431300a7eaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.752ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1},\dotsc ,E_{k}}" loading="lazy"> Vektorräume über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, so werde der Vektorraum der <a href="Multilinearform" title="Multilinearform">Multilinearformen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to K}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0edc48958cd7fec89d394fec2ef7c97cb8f1268.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.267ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to K}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/209981b1d40427a6ba3187e90b462fcbf9696b8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.136ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)}" loading="lazy"> bezeichnet. Entsprechend bezeichne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13aa72ef817b35b85400eb3d52467072752cfa87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.845ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)}" loading="lazy"> die Menge aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-<a href="Multilineare_Abbildung" title="Multilineare Abbildung">multilinearen Abbildungen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to E}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfefe11c44b04c18c46ee3ce740091c6ccb66757.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.977ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to E}" loading="lazy">, hier speziell der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">-fach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-linearen Abbildungen. Im Falle von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e98d36ebed0425bd7ecfc180ef5fdec05b32562.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.94ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=K}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bd301789e1f25a3da4be297ff637754ebee5f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=2}" loading="lazy"> handelt es sich um <a href="Bilinearform" title="Bilinearform">Bilinearformen</a>.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-<a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a>, so wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{*}:=L(E;K)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{*}:=L(E;K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/042d33cb156556b487f19672d2d853b6563e2f36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.861ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E^{*}:=L(E;K)}" loading="lazy"> sein <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraum</a> bezeichnet. Dann existieren (gemäß <a href="#Die_universelle_Eigenschaft_für_das_Tensorprodukt_zweier_Faktoren">der universellen Eigenschaft</a>) <a href="Tensorprodukt#Natürliche_Homomorphismen" title="Tensorprodukt">kanonische Isomorphismen</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)\cong (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3aedbdb5dcc4c6d357ce984c781920c4a63febc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:70.572ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)\cong (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}" loading="lazy"></dd></dl>

und allgemeiner

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)\cong L(E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k};E).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/489e3130f8ddc72824b63de3f7b9ae0df5f47b76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.38ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};E)\cong L(E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k};E).}" loading="lazy"></dd></dl>

Der kanonischen Isomorphie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\cong E^{**}=L(E^{*};K)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\cong E^{**}=L(E^{*};K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2175ddd823989652e5b075fd5270bbcab5a456de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.983ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E\cong E^{**}=L(E^{*};K)}" loading="lazy"> eines Vektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> mit seinem <a href="Bidualraum" class="mw-redirect" title="Bidualraum">Bidualraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{**}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{**}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6e39c8cb11809efca5827ed641233163d764099.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.67ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E^{**}}" loading="lazy"> wegen folgt (durch Ersetzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ba9f6e3041b052cf13a0ede4ecf35fb4c9cd16c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.515ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{i}}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{i}^{*}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{i}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46118ba5027976a1330a5c3825a00b89ba0b08c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{i}^{*}}" loading="lazy"> und mithin von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{i}^{*}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{i}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46118ba5027976a1330a5c3825a00b89ba0b08c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{i}^{*}}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{i}^{**}=E_{i}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{i}^{**}=E_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aadec5ce4f321a470925ca4bad129e8ce7f55ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.283ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{i}^{**}=E_{i}}" loading="lazy">), dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{k}(E_{1}^{*},E_{2}^{*},\dotsc ,E_{k}^{*};K)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{k}(E_{1}^{*},E_{2}^{*},\dotsc ,E_{k}^{*};K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31bbbbd074cc0491273fd0f00e551be2cce01ed9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.337ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle L^{k}(E_{1}^{*},E_{2}^{*},\dotsc ,E_{k}^{*};K)}" loading="lazy"> zum <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsb \otimes E_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsb \otimes E_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9741f9fae59c398d703bea5148d41c2070736a77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.587ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsb \otimes E_{k}}" loading="lazy"> isomorph ist. (Zur Realisierung des Tensorproduktraums als Raum von Multilinearformen sowie zur kanonischen Identifizierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdb4c4068946d354644a63e32015a4975ab2678c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:45.338ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (E_{1}\otimes E_{2}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{1}^{*}\otimes E_{2}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*}}" loading="lazy">, die in diesem Abschnitt noch häufiger genutzt wird, siehe die Abschnitte über die <a href="#Die_universelle_Eigenschaft_für_das_Tensorprodukt_zweier_Faktoren">universelle Eigenschaft</a> und über <a href="#Erweiterung_auf_mehrere_Faktoren:_Universelle_Eigenschaft_für_mehrfache_Tensorprodukte_und_Multilinearformen">Tensorprodukte und Multilinearformen</a>.)

Es gibt <a href="Tensorprodukt#Natürliche_Homomorphismen" title="Tensorprodukt">natürliche Isomorphismen</a> der folgenden Art:

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)&\cong L^{m}(E_{1},\dotsc ,E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsb \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8474a7f397c08a3161fb08c71d78406af1b7094e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:61.719ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},E_{2},\dotsc ,E_{k};K)&\cong L^{m}(E_{1},\dotsc ,E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsb \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsb \otimes E_{k}^{*})\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diesen natürlichen Isomorphismen liegen die Zurückführung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-fach-linearer Abbildungen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}" loading="lazy">-fach-lineare Abbildungen (vgl. <a href="Currying" title="Currying">Currying</a> oder <a href="Sch%C3%B6nfinkeln" class="mw-redirect" title="Schönfinkeln">Schönfinkeln</a>) einerseits und die <a href="#Die_universelle_Eigenschaft_für_das_Tensorprodukt_zweier_Faktoren">universelle Eigenschaft</a> des <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukts</a> andererseits – mehrfach angewandt – zugrunde:

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},\dotsc ,E_{k};E)&\cong L^{k-1}(E_{1},\dotsc ,E_{k-1};L(E_{k};E))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{k-2};L(E_{k-1};L(E_{k};E)))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{k-2};L^{2}(E_{k-1},E_{k};E))\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{k-2};L(E_{k-1}\otimes E_{k};E))\\&\;\;\vdots \qquad \cdots \;\cdots \;\cdots \\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{m};L(E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k};E)){\text{ für }}0\leq m\leq k\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b6e00dde11e58d773101d1498070dabb3ebf9b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.65ex; margin-bottom: -0.188ex; width:78.595ex; height:20.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}L^{k}(E_{1},\dotsc ,E_{k};E)&\cong L^{k-1}(E_{1},\dotsc ,E_{k-1};L(E_{k};E))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{k-2};L(E_{k-1};L(E_{k};E)))\\&\cong L^{k-2}(E_{1},\dotsc ,E_{k-2};L^{2}(E_{k-1},E_{k};E))\\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{k-2};L(E_{k-1}\otimes E_{k};E))\\&\;\;\vdots \qquad \cdots \;\cdots \;\cdots \\&\cong L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{m};L(E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k};E)){\text{ für }}0\leq m\leq k\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Speziell für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e98d36ebed0425bd7ecfc180ef5fdec05b32562.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.94ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=K}" loading="lazy"> besteht also der oben behauptete natürliche Isomorphismus

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mtext>wobei </mtext>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}L^{k}(E_{1},\dotsc ,E_{k};K)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(E_{1}\otimes \dotsc \otimes E_{m};E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*})\\\lambda &\longmapsto &\left[\lambda _{(1,\dotsc ,m)}\colon v_{1}\otimes \dotsc \otimes v_{m}\mapsto \lambda _{(v_{1},\dotsc ,v_{m})}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\right]{\text{ ,}}\\&&{\text{wobei }}\left[\lambda _{(v_{1},\dotsc ,v_{m})}\colon (v_{m+1}\otimes \dotsc \otimes v_{k})\mapsto \lambda (v_{1},\dotsc ,v_{k})\right]\\\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math>

und für die Linearform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{(1,\dotsc ,m)}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{(1,\dotsc ,m)}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d1fd3419d35e7a2408cd99b9c65ae439f91716c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:30.375ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{(1,\dotsc ,m)}\in (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}}" loading="lazy"> die Identifikation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ea2a758d522930a401a661bff001af4950bf531.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:39.404ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (E_{m+1}\otimes \dotsc \otimes E_{k})^{*}\cong E_{m+1}^{*}\otimes \dotsc \otimes E_{k}^{*}}" loading="lazy"> vorgenommen wird. Es genügt hierbei, die Abbildungen auf den <a href="Tensorprodukt#Elementare_Tensoren" title="Tensorprodukt">elementaren Tensoren</a> (siehe auch Abschnitt <a href="#Tensor_als_Element_des_Tensorproduktes">Tensor als Element des Tensorproduktes</a>) als einem <a href="Erzeugendensystem" title="Erzeugendensystem">Erzeugendensystem</a> über dem Grundkörper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> festzulegen. Zu ergänzen ist noch, dass in den Fällen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e57f21007575fd03e3be0da20af34d25829cc9a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/285c715af524cd41defae0e6670e890d71bfa075.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.35ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=k}" loading="lazy"> das leere Tensorprodukt entsteht, das mit dem Grundkörper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> zu identifizieren ist. Insbesondere besteht also für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> die Identifikation

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}L(V;W)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V\otimes W^{*};K)\cong V^{*}\otimes W\\f&\longmapsto &(\beta \colon v\otimes \mu \mapsto \mu \circ f(v))\\\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d44c684dfba543cbbeeecff2be345ea27ababc01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:43.878ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}L(V;W)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(V\otimes W^{*};K)\cong V^{*}\otimes W\\f&\longmapsto &(\beta \colon v\otimes \mu \mapsto \mu \circ f(v))\\\end{matrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Definition: Für einen fixierten Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> über einem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> mit Dualraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a91d2119445b3b65384ba491c4b95f1557571ecc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.848ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E^{*}}" loading="lazy"> sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e01a11800584e3fa871f4b5791e2e7439e9a0638.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.379ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}" loading="lazy"> definiert durch

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K):=L^{r+s}(E^{*},\dotsc ,E^{*},E,\dotsc ,E;K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9977403d4704d7e577eb21018d1be1c8a01fa88a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.277ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K):=L^{r+s}(E^{*},\dotsc ,E^{*},E,\dotsc ,E;K)}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> Einträgen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a91d2119445b3b65384ba491c4b95f1557571ecc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.848ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E^{*}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> Einträgen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">. Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und kovariant der Stufe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f3e3778daed31bfa6149169529acb5d9fcc8b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,s)}" loading="lazy">. Die Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r+s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r+s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5488864cadde3b5ce31fba53204a4c75a029c316.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r+s}" loading="lazy"> heißt Stufe oder Rang des Tensors.<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>

Mit den obigen Überlegungen (bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a37ce4d0ef071a78de0bdfb83cc514df91afc77a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.188ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r=m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r+s=k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r+s=k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/412e66f2b8d02f6e360695af33fab038d0014bd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.289ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r+s=k}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{i}=E}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{i}=E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c845fa3f31d02c3e3f4197c5bd23e100a37c58ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.389ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{i}=E}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,r\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,r\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e42474d9c972ee5146978182fbbfdd8b01340796.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,r\}}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{i}=E^{*}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{i}=E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b30b4020a1960655a5203f8b89477336d92e8612.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.461ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E_{i}=E^{*}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \{m+1,\dotsc ,k\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \{m+1,\dotsc ,k\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f53d194b3b51a0b167297468ede4252b8ec5e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.401ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \{m+1,\dotsc ,k\}}" loading="lazy">) ergibt sich insgesamt

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Einträge</mtext>

</mrow>

</munder>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Einträge</mtext>

</mrow>

</munder>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}T_{s}^{r}(E,K)&:=L^{r+s}(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r{\text{ Einträge}}},\underbrace {E,\dotsc ,E} _{s{\text{ Einträge}}};K)\\&\cong L(\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{r{\text{ Faktoren}}};\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}})\\&\cong \underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54abaddff603502a868bc9ee101f8ffe29ef0bba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.338ex; width:45.855ex; height:19.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}T_{s}^{r}(E,K)&:=L^{r+s}(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r{\text{ Einträge}}},\underbrace {E,\dotsc ,E} _{s{\text{ Einträge}}};K)\\&\cong L(\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{r{\text{ Faktoren}}};\underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}})\\&\cong \underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Also realisiert der Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e01a11800584e3fa871f4b5791e2e7439e9a0638.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.379ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{s}^{r}(E,K)}" loading="lazy"> der Tensoren vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f3e3778daed31bfa6149169529acb5d9fcc8b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,s)}" loading="lazy"> das <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \underbrace {E\otimes \dotsb \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsb \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}}">

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mtext> Faktoren</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {E\otimes \dotsb \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsb \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c66c681331c5504d99e9359640323ff3a91c14aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; margin-left: -0.011ex; margin-right: -0.028ex; width:28.935ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {E\otimes \dotsb \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsb \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}}" loading="lazy">, nämlich durch die obige kanonische Identifikation

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}T_{s}^{r}(E,K)=L(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r},\underbrace {E,\dotsc ,E} _{s};K)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s}\\\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3722607d9f43a9433774030aaab49be92d2d9b35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:77.705ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}T_{s}^{r}(E,K)=L(\underbrace {E^{*},\dotsc ,E^{*}} _{r},\underbrace {E,\dotsc ,E} _{s};K)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\underbrace {E\otimes \dotsc \otimes E} _{r}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dotsc \otimes E^{*}} _{s}\\\end{matrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese natürlichen Isomorphismen bedeuten, dass man Tensoren der Stufe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r+s>2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r+s>2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b799a494ea7cd33501820adeaf0408b98e5d537.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.24ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r+s>2}" loading="lazy"> auch <a href="Vollst%C3%A4ndige_Induktion#Rekursive_oder_induktive_Definition" title="Vollständige Induktion">induktiv</a> als <a href="Multilineare_Abbildung" title="Multilineare Abbildung">multilineare Abbildungen</a> zwischen Tensorräumen geringerer Stufe definieren kann. Dabei hat man für einen Tensor eines bestimmten Typs mehrere äquivalente Möglichkeiten.

In der Physik sind die Vektorräume in der Regel nicht identisch, z. B. kann man einen Geschwindigkeitsvektor und einen Kraftvektor nicht addieren. Man kann jedoch die Richtungen miteinander vergleichen, d. h., die Vektorräume bis auf einen <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">skalaren Faktor</a> miteinander identifizieren. Daher kann die Definition von Tensoren des Typs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f3e3778daed31bfa6149169529acb5d9fcc8b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,s)}" loading="lazy"> entsprechend angewendet werden. Es sei außerdem erwähnt, dass (dimensionsbehaftete) Skalare in der Physik Elemente aus eindimensionalen Vektorräumen sind und dass Vektorräume mit <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> mit ihrem Dualraum identifiziert werden können. Man arbeitet z. B. mit Kraftvektoren, obwohl Kräfte ohne die Verwendung des Skalarprodukts als Kovektoren anzusehen sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Äußeres_Tensorprodukt">Äußeres Tensorprodukt</h3></div>

Als (äußeres) Tensorprodukt oder Tensormultiplikation bezeichnet man eine Verknüpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }" loading="lazy"> zwischen zwei Tensoren. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> ein Vektorraum und seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1}\in T_{s_{1}}^{r_{1}}(E)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1}\in T_{s_{1}}^{r_{1}}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c05e2182d29c1cdd1f8739516b1facd9e10f5792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.845ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle t_{1}\in T_{s_{1}}^{r_{1}}(E)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{2}\in T_{s_{2}}^{r_{2}}(E)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{2}\in T_{s_{2}}^{r_{2}}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b57aec64297cc7c6e5d3eca22e55f9d00511f61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.845ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle t_{2}\in T_{s_{2}}^{r_{2}}(E)}" loading="lazy"> Tensoren. Das (äußere) Tensorprodukt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb0768c0bd659f2f84fb5ef9f4b74f336123d915.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/749fee708b41e7079eabd50d61c8bf3e965db16f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{2}}" loading="lazy"> ist der Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{1}\otimes t_{2}\in T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(E)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{1}\otimes t_{2}\in T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9711aa6043276e05a064596d3a3795f07568b3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:19.431ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle t_{1}\otimes t_{2}\in T_{s_{1}+s_{2}}^{r_{1}+r_{2}}(E)}" loading="lazy">, der durch

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(t_{1}\otimes t_{2})(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}}\right):=t_{1}(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}})t_{2}(\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66886054f3f83f84a783b130c3b0476626a663e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:110.77ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left(t_{1}\otimes t_{2})(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}}\right):=t_{1}(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\dotsc ,f_{s_{1}})t_{2}(\gamma ^{1},\dotsc ,\gamma ^{r_{2}},g_{1},\dotsc ,g_{s_{2}})}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert ist. Hierbei sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta ^{j},\gamma ^{j}\in E^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta ^{j},\gamma ^{j}\in E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce1051ba7b962e66eea7043acd08ceee47971caf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.159ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \beta ^{j},\gamma ^{j}\in E^{*}}" loading="lazy"> und die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{j},g_{j}\in E}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{j},g_{j}\in E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3f66ad22c7d1cbcce7336f073bdc571bec7b1ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.718ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{j},g_{j}\in E}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_von_(r,s)-Tensoren">Beispiele von (r,s)-Tensoren</h2></div>

Im Folgenden seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> endlichdimensionale Vektorräume.

<ul><li>Die Menge der (0,0)-Tensoren ist isomorph mit dem zugrunde liegenden Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">. Sie ordnen keiner Linearform und keinem Vektor ein Körperelement zu. Deshalb die Bezeichnung als (0,0)-Tensoren.</li>

<li>(0,1)-Tensoren ordnen keiner Linearform und einem Vektor eine Zahl zu, entsprechen somit den Linearformen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(E,K)=E^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(E,K)=E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01199d2e8949670a9ef9dae730583e66399d6b5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(E,K)=E^{*}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">.</li>

<li>(1,0)-Tensoren ordnen einer Linearform und keinem Vektor eine Zahl zu. Sie sind somit Elemente des bidualen Vektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{**}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{**}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6e39c8cb11809efca5827ed641233163d764099.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.67ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E^{**}}" loading="lazy">. Sie entsprechen bei endlichdimensionalen Vektorräumen den Ausgangsvektorräumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">, da hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{0}^{1}(E)\cong E^{**}\cong E}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{0}^{1}(E)\cong E^{**}\cong E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7346d41cc0a01ccbe725b1bd5f7d9c9925f836f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.002ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T_{0}^{1}(E)\cong E^{**}\cong E}" loading="lazy"> gilt (siehe <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a>).</li>

<li>Eine <a href="Lineare_Abbildung" title="Lineare Abbildung">lineare Abbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\to F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\to F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84d9e3dcf392a3538226db6bda1b7e2dd73c32e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E\to F}" loading="lazy"> zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen kann als Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{*}\otimes F}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{*}\otimes F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ace242661b09ab8294a0949ce822a917607bcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.429ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E^{*}\otimes F}" loading="lazy"> aufgefasst werden und ist dann ein (1,1)-Tensor.</li>

<li>Eine <a href="Bilinearform" title="Bilinearform">Bilinearform</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\times E\to K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\times E\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/982226229f4bc1677a945ebcff3d6df99585b9ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.072ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E\times E\to K}" loading="lazy"> lässt sich als ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edc3a820dade7a1127557abc4b54b82fd2f9ab3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.537ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}" loading="lazy"> auffassen, also als ein (0,2)-Tensor. Insbesondere lassen sich also <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukte</a> als (0,2)-Tensoren auffassen.</li>

<li>Das <a href="Kronecker-Delta" title="Kronecker-Delta">Kronecker-Delta</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"> ist wieder ein (0,2)-Tensor. Es ist ein Element von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edc3a820dade7a1127557abc4b54b82fd2f9ab3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.537ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E^{*}\otimes E^{*}}" loading="lazy"> und somit eine multilineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta \colon E\times E\to K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta \colon E\times E\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7ce1a1d6c7dfe1c5272bdd3b26a665b2fb2e817.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.154ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta \colon E\times E\to K}" loading="lazy">. Multilineare Abbildungen sind durch die Wirkung auf die Basisvektoren eindeutig bestimmt. So ist das Kronecker-Delta eindeutig durch</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>falls </mtext>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta (e_{i},e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{falls }}i=j,\\0,&{\mbox{falls }}i\neq j,\end{matrix}}\right.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcfd6e2ad5752c81c06e6285b911db815124d2ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.664ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \delta (e_{i},e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{falls }}i=j,\\0,&{\mbox{falls }}i\neq j,\end{matrix}}\right.}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>bestimmt.</dd></dl>

<ul><li>Die <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\times n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\times n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59d2b4cb72e304526cf5b5887147729ea259da78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.63ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\times n}" loading="lazy">-Matrizen, aufgefasst als alternierende Multilinearform der Spalten, ist ein (0,n)-Tensor. Bezüglich einer Orthonormalbasis wird er durch das <a href="Levi-Civita-Symbol" title="Levi-Civita-Symbol">Levi-Civita-Symbol</a> (den „Epsilontensor“) dargestellt. Speziell in drei reellen Dimensionen ist die Determinante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1c2ebf26591bc205cad57cb2a11d53894b96e7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:23.433ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \det \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> ein Tensor dritter Stufe und es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\det(e_{i},e_{j},e_{k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\det(e_{i},e_{j},e_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc1161a3fade7d03462086cec2e00ec430881cd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.671ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\det(e_{i},e_{j},e_{k})}" loading="lazy"> für die Elemente einer Orthonormalbasis. Sowohl das Kronecker-Delta als auch das Levi-Civita-Symbol werden häufig verwendet, um Symmetrieeigenschaften von Tensoren zu untersuchen. Das Kronecker-Delta ist symmetrisch bei Vertauschungen der Indizes, das Levi-Civita-Symbol antisymmetrisch, sodass man mit ihrer Hilfe Tensoren in symmetrische und antisymmetrische Anteile zerlegen kann.</li>

<li>Ein weiteres Beispiel für einen kovarianten Tensor 2. Stufe ist der <a href="Tr%C3%A4gheitstensor" title="Trägheitstensor">Trägheitstensor</a>.</li>

<li>In der <a href="Elastizit%C3%A4tstheorie" title="Elastizitätstheorie">Elastizitätstheorie</a> verallgemeinert man die <a href="Hookesches_Gesetz#Verallgemeinertes_hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">hookesche Gleichung</a> über den Zusammenhang zwischen Kräften und zugehörigen Dehnungen und Verzerrungen in einem elastischen Medium ebenfalls mit Hilfe der Tensorrechnung durch Einführung des <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensors</a>, der Verzerrungen, Deformationen beschreibt, und des <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensors</a>, der die die Deformationen verursachenden Kräfte beschreibt. Siehe dazu auch unter <a href="Kontinuumsmechanik" title="Kontinuumsmechanik">Kontinuumsmechanik</a> nach.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (V,g)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5334519f55cf9b00f83f75f58e524cce3a3b7db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.746ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (V,g)}" loading="lazy"> ein Vektorraum mit <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">. Wie oben bereits erwähnt, ist das Skalarprodukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> linear in beiden Argumenten, also ein (0,2)-Tensor bzw. ein zweifach kovarianter Tensor. Man spricht auch von einem <a href="Metrischer_Tensor" title="Metrischer Tensor">metrischen Tensor</a> oder kurz von einer „Metrik“. Dabei ist zu beachten, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> selbst keine Metrik im Sinne eines <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischen Raums</a> ist, aber eine solche erzeugt. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7c1130c3dec178129b287a3672c72f88e773832.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.586ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle g_{ij}}" loading="lazy"> werden die Koordinaten der Metrik bezüglich einer Basis des Vektorraums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> bezeichnet; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{i}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a593908199cba4c17cea2fc670fdc171f83f537d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.927ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle v^{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w^{j}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w^{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2319ee4d3db853cb7d9b32403e2aca20fc68390.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.574ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle w^{j}}" loading="lazy"> seien die Koordinaten der Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> bezüglich derselben Basis. Für die Abbildung zweier Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> unter der Metrik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> gilt deshalb</li></ul>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j}g_{ij}v^{i}w^{j}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0935cb7e019523826161e0be241365eec6c860aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:21.326ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j}g_{ij}v^{i}w^{j}.}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Tensoren lässt sich mittels der Metrik durch

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8018790470e65fdb4591c7661a095cd1ee3162e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:13.795ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle x_{i}=\sum _{j}g_{ij}x^{j}}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>bewerkstelligen.</dd>

<dd>In der Differentialgeometrie auf <a href="Riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Riemannsche Mannigfaltigkeit">riemannschen Mannigfaltigkeiten</a> ist diese Metrik zusätzlich eine Funktion des Ortes. Eine tensorwertige Funktion des Ortes wird <a href="Tensorfeld" title="Tensorfeld">Tensorfeld</a> genannt, im Fall des metrischen Tensors speziell riemannsche Metrik.</dd></dl>

<ul><li>In der Theorie der <a href="Pseudo-riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit">pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten</a> wird der Begriff des metrischen Tensors dahingehend verallgemeinert, dass auf die Definitheit des Skalarprodukts verzichtet wird. Wichtigste Anwendung ist die <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a>. In der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">speziellen Relativitätstheorie</a> verwendet man statt der <a href="Euklidische_Metrik" class="mw-redirect" title="Euklidische Metrik">euklidischen Metrik</a> die uneigentliche Metrik des <a href="Minkowskiraum" class="mw-redirect" title="Minkowskiraum">Minkowskiraumes</a>. In der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> wird ein Tensorfeld mit derselben <a href="Signatur_(lineare_Algebra)" class="mw-redirect" title="Signatur (lineare Algebra)">Signatur</a> wie die Minkowski-Metrik verwendet.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Basis">Basis</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Basis_und_Dimension">Basis und Dimension</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> wie oben ein Vektorraum, dann sind die Räume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}^{r}(E)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}^{r}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b129ffe21671cc15f9ae018060a4f0026ccc889.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{s}^{r}(E)}" loading="lazy"> ebenfalls Vektorräume. Weiterhin sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> nun endlichdimensional mit der <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d4c237dc5200c8760593d5c01530e6410a25e86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}" loading="lazy">. Die duale Basis wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f87ace1efc3aeee5e02b193c4f80078fe6a59e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.943ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}" loading="lazy"> bezeichnet. Der Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}^{r}(E)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}^{r}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b129ffe21671cc15f9ae018060a4f0026ccc889.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{s}^{r}(E)}" loading="lazy"> der Tensoren ist dann ebenfalls endlichdimensional und

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{\left.e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}\right|i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d01505928407fa9108c7e3c57f4951b1de2253a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:64.196ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \left\{\left.e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}\right|i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist eine Basis dieses Raumes. Das heißt, jedes Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26611c5db4dd274a6872ca182351fb6a9ffcc673.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.959ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}" loading="lazy"> kann durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

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</mrow>

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</mrow>

</msubsup>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n}a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4aded954bcbe6607aa6701d2af72a8ca1b393a10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:56.062ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i_{1},\dotsc ,i_{r},j_{1},\dotsc ,j_{s}=1,\dotsc ,n}a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}}" loading="lazy"></dd></dl>

dargestellt werden. Die Dimension dieses Vektorraums ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{s}^{r}(E)=n^{r+s}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{s}^{r}(E)=n^{r+s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d157313af8c25b432edfa8501ef68e766b395f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.795ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T_{s}^{r}(E)=n^{r+s}}" loading="lazy">. Wie in jedem endlichdimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis operiert.

Da die obige Summendarstellung sehr viel Schreibarbeit mit sich bringt, wird oft die <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">einsteinsche Summenkonvention</a> verwendet. In diesem Fall schreibt man also

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1682369d23814d68a272a9cf90421a32e0717ace.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:38.547ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}e_{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes e^{j_{s}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb5b391aeb1b5ce9b8a8d65b5fb0a7bd833e377f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.279ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle a_{j_{1},\dotsc ,j_{s}}^{i_{1},\dotsc ,i_{r}}}" loading="lazy"> werden Komponenten des Tensors bezüglich der Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f87ace1efc3aeee5e02b193c4f80078fe6a59e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.943ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \{e^{1},\dotsc ,e^{n}\}}" loading="lazy"> genannt. Oft identifiziert man die Komponenten des Tensors mit dem Tensor an sich. Siehe dafür unter <a href="Tensordarstellungen_der_Physik" class="mw-redirect" title="Tensordarstellungen der Physik">Tensordarstellungen der Physik</a> nach.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Basiswechsel_und_Koordinatentransformation">Basiswechsel und Koordinatentransformation</h3></div>

Seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e'_{i_{1}},\dotsc ,e'_{i_{n}}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e'_{i_{1}},\dotsc ,e'_{i_{n}}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61d2e1b0ee84f53b4a4c6fd4d189b08a481e43a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:13.066ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \{e'_{i_{1}},\dotsc ,e'_{i_{n}}\}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dad1773a4da38ea129aa86855c03bb910e07982.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.066ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}" loading="lazy"> paarweise verschiedene Basen der Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b36269b01b2a8231119a4fe94fcaa33bf5ee4775.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.161ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{n}}" loading="lazy">. Jeder Vektor, also auch jeder Basisvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{i_{l}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{i_{l}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b3f54117fdfb2b32247a7ef03d3a6daca184c6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e_{i_{l}}}" loading="lazy"> kann als <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> der Basisvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e'_{i_{l}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e'_{i_{l}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c86a80061e9db8dc9f212141bfd7f91cb93da3b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.445ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e'_{i_{l}}}" loading="lazy"> dargestellt werden. Der Basisvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{i_{l}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{i_{l}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b3f54117fdfb2b32247a7ef03d3a6daca184c6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e_{i_{l}}}" loading="lazy"> werde dargestellt durch

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e'_{j_{l}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/596305c80ba3ff7aa3f0ae9d13a3c881ac373c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:16.777ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle e_{i_{l}}=\sum _{j_{l}}a_{j_{l},i_{l}}e'_{j_{l}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{j_{l},i_{l}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{j_{l},i_{l}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/118cbd8e5dd98a44c540478ab36f3ea248837e3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.289ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{j_{l},i_{l}}}" loading="lazy"> bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e'_{i_{l}}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e'_{i_{l}}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96017b48712ccaebee2c4c2de3662c3798671800.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.77ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \{e'_{i_{l}}\}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e_{i_{l}}\}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e_{i_{l}}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/481109466a1a1699ee14f04dde40ea6ba2735cfe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.77ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{e_{i_{l}}\}}" loading="lazy">. Das gilt für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l=1,\dotsc ,n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l=1,\dotsc ,n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5fcbde7ee25ddbf35a4bec19d798221dfbc1fbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.527ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle l=1,\dotsc ,n}" loading="lazy">. Dieses Verfahren wird <a href="Basiswechsel_(Vektorraum)" title="Basiswechsel (Vektorraum)">Basiswechsel</a> genannt.

Ferner seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4730ab70fbbe66131be5c33da5b347deb8d9067.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.362ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}" loading="lazy"> die Komponenten des Tensors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> bezüglich der Basis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dad1773a4da38ea129aa86855c03bb910e07982.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.066ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \{e_{i_{1}},\dotsc ,e_{i_{n}}\}}" loading="lazy">. Dann ergibt sich für das Transformationsverhalten der Tensorkomponenten die Gleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}=\sum _{j_{1}}\dots \sum _{j_{n}}a_{i_{1},j_{1}}\dots a_{i_{n},j_{n}}T_{{j_{1}},\dotsc ,{j_{n}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af27ba45590d1fe45dc51eadd7414c8a1d6e7bc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:42.702ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}=\sum _{j_{1}}\dots \sum _{j_{n}}a_{i_{1},j_{1}}\dots a_{i_{n},j_{n}}T_{{j_{1}},\dotsc ,{j_{n}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Es wird in der Regel zwischen der Koordinatendarstellung des Tensors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/caffbfb66a17f4b0f40eeed60831d5eca9f3fb79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.362ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T'_{{i_{1}},\dotsc ,{i_{n}}}}" loading="lazy"> und der Transformationsmatrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a96656e5a8bc9237b5d926fcb6aed0fa46fa776.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.419ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}" loading="lazy"> unterschieden. Die Transformationsmatrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a96656e5a8bc9237b5d926fcb6aed0fa46fa776.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.419ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{j_{1},i_{1}}\dots a_{j_{n},i_{n}}}" loading="lazy"> ist zwar eine indizierte Größe, aber kein Tensor. Im <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a> sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z. B. <a href="Lorentz-Transformation" title="Lorentz-Transformation">Lorentz-Transformationen</a>, die sich auch als „Drehungen“ in einem vierdimensionalen <a href="Minkowskiraum" class="mw-redirect" title="Minkowskiraum">Minkowskiraum</a> auffassen lassen. Man spricht in diesem Fall auch von <a href="Vierertensor" title="Vierertensor">Vierertensoren</a> und <a href="Vierervektor" title="Vierervektor">Vierervektoren</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor bezüglich einer Basis dargestellt werden. Beispielsweise kann ein Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> mit Rang 2 in einem gegebenen Basissystem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}" loading="lazy"> wie folgt als Matrix dargestellt werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=_{\mathcal {B}}{\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1247be7d20294986ee378b1b3bfda62593052d4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:31.181ex; height:14.176ex;" alt="{\displaystyle T=_{\mathcal {B}}{\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dadurch lässt sich der Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(v,w)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(v,w)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6978758887b0d8e5a6bd76901954cd8b12b87a51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.271ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(v,w)}" loading="lazy"> im Rahmen des entsprechenden Basissystems mit Hilfe der <a href="Matrixmultiplikation" class="mw-redirect" title="Matrixmultiplikation">Matrixmultiplikation</a> berechnen:

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

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</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

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<mtd>

</mtd>

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</mtr>

<mtr>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(v,w)={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79566a8590c61ae9424a2533f08a8d25de0940c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:65.513ex; height:14.176ex;" alt="{\displaystyle T(v,w)={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Betrachtet man nun konkret den <a href="Tr%C3%A4gheitstensor" title="Trägheitstensor">Trägheitstensor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy">, so kann mit ihm bezüglich eines gewählten Koordinatensystems die <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\mathrm {rot} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {rot} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/76e88a849c59c89004924aef80d3bb73d886b3d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.054ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {rot} }}" loading="lazy"> eines <a href="Starrer_K%C3%B6rper" title="Starrer Körper">starren Körpers</a> mit der <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}" loading="lazy"> wie folgt berechnet werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\omega _{\alpha }I_{\beta }^{\alpha }\omega ^{\beta }={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dccecbcc92cad6c79d65374e7557a9382e4d83f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:76.192ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\omega _{\alpha }I_{\beta }^{\alpha }\omega ^{\beta }={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}&\omega _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Operationen_auf_Tensoren">Operationen auf Tensoren</h2></div>

Neben dem Tensorprodukt gibt es für (r,s)-Tensoren weitere wichtige Operationen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inneres_Produkt">Inneres Produkt</h3></div>

Das innere Produkt eines Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5732c7b11ad9bb4b4dfefbfcb35d1df7a01f63d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.744ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in E}" loading="lazy"> (bzw. eines (Ko-)Vektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta \in E^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta \in E^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c425c8472d368f88ce0e61487fd44259963b8337.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.021ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta \in E^{*}}" loading="lazy">) mit einem Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E;K)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E;K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bab32c7a65deb6345c56afcb56dd836388a4b06e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E;K)}" loading="lazy"> ist der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,s-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,s-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d03ea19e599da62ce391152e51e47bf70b397844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,s-1)}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r-1,s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r-1,s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b00d0c1226d29caad1d8db35d0c03479a28b3f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r-1,s)}" loading="lazy">)-Tensor, der durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i_{v}t)\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},\cdot ,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)=t\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},v,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bd155ce11f68f609a5cab0fc35fdb358aa589df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:62.307ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (i_{v}t)\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},\cdot ,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)=t\left(\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r},v,v_{1},\dotsc ,v_{s-1}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

bzw. durch

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (i^{\beta }t)\left(\cdot ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)=t\left(\beta ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cef2ccf14ef689e58c9d151875f345380e257c07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:62.656ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (i^{\beta }t)\left(\cdot ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)=t\left(\beta ,\beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r-1},v_{1},\dotsc ,v_{s}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert ist. Dies bedeutet, dass der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,s)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f3e3778daed31bfa6149169529acb5d9fcc8b49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.982ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,s)}" loading="lazy">-Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> an einem festen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> bzw. festen Kovektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> ausgewertet wird.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tensorverjüngung">Tensorverjüngung</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Tensorverj%C3%BCngung" title="Tensorverjüngung">Tensorverjüngung</a></div>

Gegeben sei ein (r,s)-Tensor sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq k\leq r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq k\leq r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ffc32131b5b900ae2a090a800442fcfbc9be242.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.619ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\leq k\leq r}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq l\leq s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq l\leq s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63e1c528e558c0186bec0008412381c3f485ccff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.143ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\leq l\leq s}" loading="lazy">. Die Tensorverjüngung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{l}^{k}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{l}^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aab0f3625e34117036b1a0e1aaee0008c75668a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.887ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C_{l}^{k}}" loading="lazy"> bildet den Tensor

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

<msup>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22c1977f2cf3951b7ea3cf627b0c4ec830dcc354.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:57.298ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}}" loading="lazy"></dd></dl>

auf den Tensor

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&C_{l}^{k}\left(\sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}\right)\\=&\sum \beta _{i_{k}}(v^{j_{l}})\cdot (\beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k-1}}\otimes \beta _{i_{k+1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12efc76d5f237c0ac7faa2f7fcb555d1bc856bbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:89.194ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&C_{l}^{k}\left(\sum \beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}}\right)\\=&\sum \beta _{i_{k}}(v^{j_{l}})\cdot (\beta _{i_{1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{k-1}}\otimes \beta _{i_{k+1}}\otimes \dotsb \otimes \beta _{i_{r}}\otimes v^{j_{1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes \dotsb \otimes v^{j_{s}})\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ab. Dieser Vorgang heißt <a href="Tensorverj%C3%BCngung" title="Tensorverjüngung">Tensorverjüngung</a> oder Spurbildung. Im Fall von (1,1)-Tensoren entspricht die Tensorverjüngung

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{1}^{1}\colon V^{*}\otimes V\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94fe35f2e27aab3f0a3a2b11db2e9f996a4af4a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.165ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C_{1}^{1}\colon V^{*}\otimes V\to K}" loading="lazy"></dd></dl>

unter der Identifizierung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V^{*}\otimes V\cong \mathrm {End} (V)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V^{*}\otimes V\cong \mathrm {End} (V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9a919f58839301cea270639ee9a57851a3ff3b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V^{*}\otimes V\cong \mathrm {End} (V)}" loading="lazy"> der <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a> eines <a href="Endomorphismus" title="Endomorphismus">Endomorphismus</a>.

Mit Hilfe der einsteinschen Summenkonvention kann man die Tensorverjüngung sehr kurz darstellen. Seien beispielsweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{i}^{j}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{i}^{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/083ae6eb3f6966c6af711c0c417892e8db638137.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.63ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle T_{i}^{j}}" loading="lazy"> die Koeffizienten (bzw. Koordinaten) des zweistufigen Tensors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> bezüglich einer gewählten Basis. Will man diesen (1,1)-Tensor verjüngen, so schreibt man oft anstatt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{1}^{1}(T)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{1}^{1}(T)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/970aa87cb7f10812e165f9de2713a6fa64e59628.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.298ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle C_{1}^{1}(T)}" loading="lazy"> nur die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{i}^{i}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{i}^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535fdeac0fe85ef501bb527fbe442577c8776bb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.52ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T_{i}^{i}}" loading="lazy">. Die einsteinsche Summenkonvention besagt nun, dass über alle gleichen Indizes summiert wird und somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{i}^{i}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{i}^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535fdeac0fe85ef501bb527fbe442577c8776bb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.52ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T_{i}^{i}}" loading="lazy"> ein Skalar ist, der mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt. Der Ausdruck <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7bf72d46b24b05bf2cc1b6a50729fa79fbe13c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.273ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{i}}" loading="lazy"> ist hingegen nicht definiert, weil über gleiche Indizes nur dann summiert wird, wenn einer oben und einer unten steht. Hingegen ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4524db17c605fb7e04f4d2a023e3b9d6273420b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.383ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle B_{i}{}^{j}{}_{j}}" loading="lazy"> ein Tensor erster Stufe.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pull-Back_(Rücktransport)">Pull-Back (Rücktransport)</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="R%C3%BCcktransport" title="Rücktransport">Rücktransport</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \in L(E,F)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \in L(E,F)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30fb2d9c9cb41bb185b7e8144ff8ff3052cb723a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.169ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi \in L(E,F)}" loading="lazy"> eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, die kein Isomorphismus zu sein braucht. Der Rücktransport von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> sei eine Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{*}\in L(T_{s}^{0}(F),T_{s}^{0}(E))}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{*}\in L(T_{s}^{0}(F),T_{s}^{0}(E))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5a75894a5c3d82061147b825be6a613185a99c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.39ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{*}\in L(T_{s}^{0}(F),T_{s}^{0}(E))}" loading="lazy">, die durch

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{*}t(f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi (f_{1}),\dotsc ,\phi (f_{s}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02a77507ae34da07cd1c2a655fb293cd417e6a54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.254ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{*}t(f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi (f_{1}),\dotsc ,\phi (f_{s}))}" loading="lazy"></dd></dl>

definiert ist. Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in T_{s}^{0}(F)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in T_{s}^{0}(F)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b433366a2bfd340d0becbf3092b4e57919af377b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.005ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle t\in T_{s}^{0}(F)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in E}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9f21de00de2f4527d4717ac05c7776dca1f63e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.131ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in E}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Push-Forward">Push-Forward</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Pushforward" title="Pushforward">Pushforward</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon E\to F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon E\to F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e897cb706a82a7d1ad017214a5bb9b97ba1d7cf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.55ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon E\to F}" loading="lazy"> ein Vektorraum<a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">isomorphismus</a>. Definiere den Push-Forward von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{*}\in L(T_{s}^{r}(E),T_{s}^{r}(F))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{*}\in L(T_{s}^{r}(E),T_{s}^{r}(F))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09192627a1a5b00f67972793a8affa5927b8f30a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.229ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{*}\in L(T_{s}^{r}(E),T_{s}^{r}(F))}" loading="lazy"> mit

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{*}t(\beta ^{1}\dotsc ,\beta ^{r},f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi ^{*}(\beta ^{1}),\dotsc ,\phi ^{*}(\beta ^{r}),\phi ^{-1}(f_{1}),\dotsc ,\phi ^{-1}(f_{s})).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3505b6f4b67cd204b4003b65fef7d90969d1190e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:71.246ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi _{*}t(\beta ^{1}\dotsc ,\beta ^{r},f_{1},\dotsc ,f_{s})=t(\phi ^{*}(\beta ^{1}),\dotsc ,\phi ^{*}(\beta ^{r}),\phi ^{-1}(f_{1}),\dotsc ,\phi ^{-1}(f_{s})).}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26611c5db4dd274a6872ca182351fb6a9ffcc673.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.959ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t\in T_{s}^{r}(E)}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r}\in F^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r}\in F^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc90b9fc7b5580ae26f7ec3b83c1177fb3d50c83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.59ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \beta ^{1},\dotsc ,\beta ^{r}\in F^{*}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in F}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ff69d191493537677bb30e9ec5f7c02c4769350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.096ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{s}\in F}" loading="lazy">. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91d1215316ee0f1c21b32a287c1ee6c92e8ee67f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.386ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i})}" loading="lazy"> wird der <a href="R%C3%BCcktransport" title="Rücktransport">Rücktransport</a> der Linearform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta ^{i}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta ^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e29de351d3482101c598ec4ac756d3a89c920b63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \beta ^{i}}" loading="lazy"> notiert. Konkret heißt dies <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i}(.))=\beta ^{i}(\phi (.)).}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i}(.))=\beta ^{i}(\phi (.)).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56437fec834760880d697cd8616cf80adb23be57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.149ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi ^{*}(\beta ^{i}(.))=\beta ^{i}(\phi (.)).}" loading="lazy"> Analog zum Rücktransport kann man beim Push-Forward auf die Isomorphie von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> verzichten und diese Operation nur für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16d4f36025a8da43ffa1482669e94412ce4f54c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.054ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r,0)}" loading="lazy">-Tensoren definieren.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tensoralgebra">Tensoralgebra</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Tensoralgebra" title="Tensoralgebra">Tensoralgebra</a></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> ein <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> über einem <a href="K%C3%B6rpertheorie" class="mw-redirect" title="Körpertheorie">Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">. Dann ist durch

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {T} (E)=\bigoplus _{n\geq 0}E^{\otimes n}=K\oplus E\oplus (E\otimes E)\oplus (E\otimes E\otimes E)\oplus \dotsb }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/511a6e593469be64855cf6a19cef1b414ab5b7b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:58.593ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {T} (E)=\bigoplus _{n\geq 0}E^{\otimes n}=K\oplus E\oplus (E\otimes E)\oplus (E\otimes E\otimes E)\oplus \dotsb }" loading="lazy"></dd></dl>

die sogenannte Tensoralgebra definiert. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> gegeben ist, wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {T} (E)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {T} (E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a463359e35acf0ffaacad614c70ba037ffe42ba6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.263ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {T} (E)}" loading="lazy"> zu einer unitären <a href="Assoziative_Algebra" title="Assoziative Algebra">assoziativen Algebra</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tensorproduktraum">Tensorproduktraum</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a></div>

In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert, sie werden typischerweise in der <a href="Algebra" title="Algebra">Algebra</a> betrachtet. Diese Definition ist allgemeiner als die der (r,s)-Tensoren, da hier die Tensorräume aus unterschiedlichen Vektorräumen konstruiert werden können.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_universelle_Eigenschaft_für_das_Tensorprodukt_zweier_Faktoren">Die universelle Eigenschaft für das Tensorprodukt zweier Faktoren</h3></div>

Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> Vektorräume über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">. Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8705438171d938b7f59cd1bfa5b7d99b6afa5cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y}" loading="lazy"> weitere <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorräume, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\colon V\times W\to X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\colon V\times W\to X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/222b5ba20ebdedd658f361d385faeb22e55be7ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.688ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\colon V\times W\to X}" loading="lazy"> eine beliebige bilineare Abbildung und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}" loading="lazy"> eine lineare Abbildung, dann ist auch die Verknüpfung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\circ b)\colon V\times W\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\circ b)\colon V\times W\to Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e97e4d120451ed5d746250a16039df7d97aec927.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f\circ b)\colon V\times W\to Y}" loading="lazy"> eine bilineare Abbildung. Ist also eine bilineare Abbildung gegeben, so kann man daraus auch beliebig viele weitere bilineare Abbildungen konstruieren. Es stellt sich die Frage, ob es eine bilineare Abbildung gibt, aus der auf diese Art, durch Verknüpfung mit linearen Abbildungen, alle bilinearen Abbildungen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\times W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\times W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b9b65a794c51f2c6b0396c9d01d3bbe48f54fa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V\times W}" loading="lazy"> (auf eindeutige Weise) konstruiert werden können. Ein solches universelles Objekt, d. h. die bilineare Abbildung samt ihrem Bildraum, wird als Tensorprodukt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> bezeichnet.

Definition: Als Tensorprodukt der Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> wird jeder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> bezeichnet, zu dem es eine <a href="Bilineare_Abbildung" title="Bilineare Abbildung">bilineare Abbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e06e91332ab4095fc83d63c11581f7d459f7d82a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.076ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi \colon V\times W\to X}" loading="lazy"> gibt, die die folgende <a href="Universelle_Eigenschaft" title="Universelle Eigenschaft">universelle Eigenschaft</a> erfüllt:

<dl><dd>Zu jeder bilinearen Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\colon V\times W\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\colon V\times W\to Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2745a20a46370e59cce9454da244ce8258a72da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.482ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\colon V\times W\to Y}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\times W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\times W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b9b65a794c51f2c6b0396c9d01d3bbe48f54fa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V\times W}" loading="lazy"> in einen Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> existiert genau eine lineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b'\colon X\to Y}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b'\colon X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01846aa9e60437ba2b76aa5a9339cfc1fa29d8ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.084ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b'\colon X\to Y}" loading="lazy">, sodass für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (v,w)\in V\times W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (v,w)\in V\times W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b22c295e3e8c1bb393aec0802257a4deec79f80c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.539ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (v,w)\in V\times W}" loading="lazy"> gilt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b(v,w)=b'(\phi (v,w))}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(v,w)=b'(\phi (v,w))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f2a69d4089db6511ff3e7b117ed42f07a5f7dfb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.243ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle b(v,w)=b'(\phi (v,w))}" loading="lazy"></dd></dl>

Gibt es einen solchen Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, so ist er bis auf <a href="Isomorphie_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Isomorphie (Mathematik)">Isomorphie</a> eindeutig bestimmt. Ist nämlich bereits <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> mit der Bilinearform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> (als seinem Tensorprodukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }" loading="lazy">) ein zweiter derartigen Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/865f8505e90120a535a4ee68ca253dbd8ce7eb6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X'}" loading="lazy">, so gibt es neben der eindeutig bestimmten linearen Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cee8dc8bb1c6c5c94066d54504f57177d11883c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b'}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=b'\circ \phi }">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=b'\circ \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/318162c623bb4df86dcc181c62ad42de7ec97363.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.358ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b=b'\circ \phi }" loading="lazy"> auch eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi '\colon Y\to X}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi '\colon Y\to X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28e7f50850fd39ca48ca93c86c17c3b8d864cd9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.471ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi '\colon Y\to X}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi =\phi '\circ b}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi =\phi '\circ b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d304cd10c11129f25da9493d349e1b2c778bdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.746ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi =\phi '\circ b}" loading="lazy">, da ja auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b,Y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b,Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/970cb4b3168209c64407d660a7f6b1b0e3b93a7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.614ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b,Y)}" loading="lazy"> die universelle Eigenschaft hat. Also sind beide, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">, Isomorphismen. Man schreibt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=V\otimes W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=V\otimes W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00fe9e5f54bcd6b7c1b31519751d71c25d6faa74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.141ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle X=V\otimes W}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi (v,w)=v\otimes w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi (v,w)=v\otimes w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d1433a5e6d1e6b8adc46eefdd4f46077f950063.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.751ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi (v,w)=v\otimes w}" loading="lazy">. Die universelle Eigenschaft kann also als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b(v,w)=b'(v\otimes w)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b(v,w)=b'(v\otimes w)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0cf57e779aae19154413ae36e7624c73947a044.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.855ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle b(v,w)=b'(v\otimes w)}" loading="lazy"> geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> verwiesen.

Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes gibt also auf die obige Fragestellung eine bejahende Antwort und lässt sich so formulieren: Die Abbildung

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}L(V\otimes W;Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(V,W;Y)\\b'&\longmapsto &b'\circ \phi \end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6b04cb82af36394ba80ad159f1489963cc4e145.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:34.974ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}L(V\otimes W;Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L^{2}(V,W;Y)\\b'&\longmapsto &b'\circ \phi \end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist surjektiv (Existenzaussage) und injektiv (Eindeutigkeitsaussage), mithin <a href="Bijektive_Funktion" title="Bijektive Funktion">bijektiv</a> und somit ein Isomorphismus von Vektorräumen. Für den Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8e69782890c695f8c31b2f34deefb20c87993d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.938ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Y=K}" loading="lazy"> ergibt sich eine Deutung des Dualraumes des Tensorproduktraumes als Raum der Bilinearformen. Zusammen mit den bereits erwähnten Identifikationen ergibt sich: <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V^{*}\otimes W^{*}\cong (V\otimes W)^{*}\cong L(V,W;K)\cong L(V;W^{*})\cong L(W;V^{*})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V^{*}\otimes W^{*}\cong (V\otimes W)^{*}\cong L(V,W;K)\cong L(V;W^{*})\cong L(W;V^{*})}</annotation>

</semantics>

</math>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tensor_als_Element_des_Tensorproduktes">Tensor als Element des Tensorproduktes</h3></div>

In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ein <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> und es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1351f9b82a56a86337082e87488b4266e115e004.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1},V_{2},\dotsc ,V_{s}}" loading="lazy"> <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorräume</a> über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">.

Das Tensorprodukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d99917f48fd18cc8f5ec5ba27aacaa2b8a69007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93647e859ced8d59468d1e3a09cf1e52d12f4460.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.946ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}" loading="lazy"> ist ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s},\quad v_{i}\in V_{i},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4b43bc5ad7081ebd505a1ddb7d82a22b9e69b7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s},\quad v_{i}\in V_{i},}" loading="lazy"></dd></dl>

sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes (v_{i}'+v_{i}'')\otimes \dotsb \otimes v_{s}=(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}'\otimes \dotsb \otimes v_{s})+(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}''\otimes \dotsb \otimes v_{s})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94bbd39bfcefb9008f3a010e4dfb37ef5ef63a27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:85.954ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes (v_{i}'+v_{i}'')\otimes \dotsb \otimes v_{s}=(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}'\otimes \dotsb \otimes v_{s})+(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}''\otimes \dotsb \otimes v_{s})}" loading="lazy"></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes (\lambda v_{i})\otimes \dotsb \otimes v_{s}=\lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}\otimes \dotsb \otimes v_{s}),\quad \lambda \in K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0564916531f35d576abf2e6d11e098cbc67f221c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:65.142ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes (\lambda v_{i})\otimes \dotsb \otimes v_{s}=\lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{i}\otimes \dotsb \otimes v_{s}),\quad \lambda \in K}" loading="lazy"></li></ul>

Die Tensoren der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71c15dd1a113a10ce3ba625a447a41545ed38065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.717ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}}" loading="lazy"> heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{e_{i}^{(1)},\dotsc ,e_{i}^{(d_{i})}\}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e_{i}^{(1)},\dotsc ,e_{i}^{(d_{i})}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c834ae3fac7c28f6063cf24ae01737aaf53743c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.995ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \{e_{i}^{(1)},\dotsc ,e_{i}^{(d_{i})}\}}" loading="lazy"> eine <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f300b83673e961a9d48f3862216b167f94e5668c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.155ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{i}}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\dotsc ,s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\dotsc ,s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1254621dee4623fee4e79fa828d8f4399e83206d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\dotsc ,s}" loading="lazy">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{i}=\dim V_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{i}=\dim V_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/920195cb05aab9823be1cc17f45a567747fe17f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.524ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{i}=\dim V_{i}}" loading="lazy">), so ist

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{e_{1}^{(j_{1})}\otimes \dotsb \otimes e_{s}^{(j_{s})}\mid 1\leq i\leq s,1\leq j_{i}\leq d_{i}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94f3986d14149e45e8cf292860f7e2f35d5d0a5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.245ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \{e_{1}^{(j_{1})}\otimes \dotsb \otimes e_{s}^{(j_{s})}\mid 1\leq i\leq s,1\leq j_{i}\leq d_{i}\}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine Basis von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65d2f8ed1a8b00899104e732907db0cb797f7ae5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.819ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}.}" loading="lazy"> Die Dimension von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d99917f48fd18cc8f5ec5ba27aacaa2b8a69007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}" loading="lazy"> ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08f761d0d8d2d39cb421c1c2e54ab048592efca4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erweiterung_auf_mehrere_Faktoren:_Universelle_Eigenschaft_für_mehrfache_Tensorprodukte_und_Multilinearformen">Erweiterung auf mehrere Faktoren: Universelle Eigenschaft für mehrfache Tensorprodukte und Multilinearformen</h3></div>

Die <a href="#Die_universelle_Eigenschaft_für_das_Tensorprodukt_zweier_Faktoren">bisherigen Betrachtungen</a> zur <a href="Universelle_Eigenschaft" title="Universelle Eigenschaft">universellen Eigenschaft</a> lassen sich wie folgt auf mehrere Faktoren ausweiten.

Der <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d99917f48fd18cc8f5ec5ba27aacaa2b8a69007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}" loading="lazy"> kann (gemäß der universellen Eigenschaft) mit dem Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(V_{1},\dotsc ,V_{s};K)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(V_{1},\dotsc ,V_{s};K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6caf257c06b5182eb14f4304d762db3b20891ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.438ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(V_{1},\dotsc ,V_{s};K)}" loading="lazy"> der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-<a href="Multilinearform" title="Multilinearform">Multilinearformen</a> identifiziert werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \colon V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42e4bd8dd2ebf036c761083f25e80bf06c106b88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.241ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda \colon V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}\to K}" loading="lazy"> eine <a href="Linearform" title="Linearform">Linearform</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s},}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c84dbd4a815476616efffa0f4201737401b2c877.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.819ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s},}" loading="lazy"> so ist durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78887b570186809202705a6477ce5b11d59d25ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.796ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\mapsto \lambda (v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-<a href="Multilinearform" title="Multilinearform">Multilinearform</a> gegeben. Es stellt sich die Frage, ob jede <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-Multilinearform auf diese Weise konstruiert werden kann. Die bejahende Antwort gibt <a href="#Die_universelle_Eigenschaft_für_das_Tensorprodukt_zweier_Faktoren">die universelle Eigenschaft</a> des Tensorproduktes:</li></ul>

<ul><li>Ist nämlich umgekehrt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to K}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec81c6e28cc852616f145304f64c38d83472018c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.288ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu \colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to K}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-Multilinearform, so ist die mit ihr – gemäß der universellen Eigenschaft – korrespondierende Linearform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu '\in L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu '\in L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6978e95cbfd23b2e9b43184f6118a5ae1a095557.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.591ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mu '\in L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)}" loading="lazy"> festgelegt, indem sie für die elementaren Tensoren (im Einklang mit der universellen Eigenschaft) definiert und dann linear auf den ganzen Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d99917f48fd18cc8f5ec5ba27aacaa2b8a69007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}" loading="lazy"> fortgesetzt wird. Für die elementaren Tensoren gilt gemäß der universellen Eigenschaft: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu '(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s}).}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu '(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588bba9e477a493ba85d910ba05f325494e407e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.06ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mu '(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s})=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s}).}" loading="lazy"></li></ul>

Wie oben (im Abschnitt zur <a href="#Die_universelle_Eigenschaft_für_das_Tensorprodukt_zweier_Faktoren">universellen Eigenschaft</a>) für den Fall zweier Vektorräume formuliert, gilt nämlich auch für mehrere Faktoren (bis auf Isomorphie) die universelle Eigenschaft. Und diese lässt sich in folgender Weise formulieren und umfasst zugleich die Aussage der beiden obigen Spiegelpunkte:

<dl><dd>Definition: Es seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93647e859ced8d59468d1e3a09cf1e52d12f4460.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.946ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> Vektorräume über dem Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">. Dann heißt die multilineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afaf4316eac4e81fbf3a635e2fa68c1e7c737217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.64ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}" loading="lazy"> das Tensorprodukt der Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f300b83673e961a9d48f3862216b167f94e5668c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.155ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{i}}" loading="lazy"> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, wenn sie folgende Eigenschaft hat: Zu jeder multilinearen Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu \in L(V_{1},\dotsc ,V_{s};Y)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \in L(V_{1},\dotsc ,V_{s};Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa8cab665130ea9e5ef604b697d5b88cb96c9fa6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu \in L(V_{1},\dotsc ,V_{s};Y)}" loading="lazy"> gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu '\in L(X;Y)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu '\in L(X;Y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7496e112ad17e36aea33d7a9e32324309fd9f3c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.106ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mu '\in L(X;Y)}" loading="lazy"> mit der Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu '(t(v_{1},\dotsc ,v_{s}))=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s})}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu '(t(v_{1},\dotsc ,v_{s}))=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9bd3974f833d7fdf35b4542e06b8d13c1d0e5f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.836ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mu '(t(v_{1},\dotsc ,v_{s}))=\mu (v_{1},\dotsc ,v_{s})}" loading="lazy"> für alle Tupel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\in V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\in V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a172a5ddeee7d59478c4886de096011c72e769e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.96ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{s})\in V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}" loading="lazy"> Man schreibt dann:</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t(v_{1},\dotsc ,v_{s})=v_{1}\otimes \dotsc \otimes v_{s}\qquad {\text{ und }}\qquad X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math>

<dl><dd>Wenn es einen solchen Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> mit einer solchen multilinearen Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> gibt, dann ist der Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> aufgrund eben dieser universellen Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Daher wird häufig nur von dem Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> gesprochen, obwohl genau genommen auch die zugehörige multilineare Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afaf4316eac4e81fbf3a635e2fa68c1e7c737217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.64ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle t\colon V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to X}" loading="lazy"> Bestandteil des Tensorproduktes ist.</dd></dl>

Tatsächlich lässt sich für die Kategorie der Vektorräume (genauer: in der Kategorie der multilinearen Abbildungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to [??]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to [??]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/597d0dd2574ad69e6b77499917be8e727960cd06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi :V_{1}\times \dotsb \times V_{s}\to [??]}" loading="lazy"> auf vorgegebenen Vektorräumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f300b83673e961a9d48f3862216b167f94e5668c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.155ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{i}}" loading="lazy"> in einen beliebigen Vektorraum) ein solches <a href="Tensorprodukt" title="Tensorprodukt">Tensorprodukt</a> konstruieren. Es ist durch die universelle Eigenschaft eindeutig bis auf Isomorphie gekennzeichnet.

Wenn also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5dbfef9d6f0140ab06c5e3fe303676d00f42f56f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.251ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X=V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s}}" loading="lazy"> das (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) Tensorprodukt der Vektorräume <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93647e859ced8d59468d1e3a09cf1e52d12f4460.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.946ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1},\dotsc ,V_{s}}" loading="lazy"> bezeichnet, so etabliert die universelle Eigenschaft einen Isomorphismus von Vektorräumen (Beachte: Der Raum der linearen Abbildungen und der Raum der multilinearen Abbildungen sind in natürlicher Weise Vektorräume):

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</msup>

<mtext> definiert durch Festlegung auf den elementaren Tensoren</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mtext>-lineare Fortsetzung auf den gesamten (Tensor-)Raum </mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}L(V_{1},\dotsc ,V_{s};Y)&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L(X,Y)=L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};Y)\\\lambda &\longmapsto &\lambda '{\text{ definiert durch Festlegung auf den elementaren Tensoren}}\\&&\lambda '\circ t(v_{1},\dotsc ,v_{s})=\lambda '(v_{1}\otimes \dotsb \otimes v_{s}):=\lambda (v_{1},\dotsc ,v_{s})\\&&{\text{ und }}K{\text{-lineare Fortsetzung auf den gesamten (Tensor-)Raum }}X.\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math>

Die Surjektivität dieser Abbildung nämlich ist gleichbedeutend mit der Existenzaussage („zu jeder multilinearen Abbildung gibt es“, vgl. zweiten Spiegelpunkt), die Injektivität hingegen mit der Eindeutigkeitsaussage („eine eindeutig bestimmte“). Da die angegebene Abbildung eine lineare Abbildung ist (Homomorphismus von Vektorräumen), ist sie ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man demnach für den Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf8e69782890c695f8c31b2f34deefb20c87993d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.938ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Y=K}" loading="lazy"> die beiden Vektorräume

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)=:(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s})^{*}\quad \mathrm {und} \quad V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/621867a4ebb3586d6088a55a016bd5ea0332b1aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:62.314ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle L(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s};K)=:(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{s})^{*}\quad \mathrm {und} \quad V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}" loading="lazy"></dd></dl>

in natürlicher Weise miteinander identifizieren, d. h., Elemente von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2e7f257a7a4be57484041cbbf004f6f24300768.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.346ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V_{1}^{*}\otimes \dotsb \otimes V_{s}^{*}}" loading="lazy"> entsprechen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-Multilinearformen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3baf4e2619d44638bba01f1c48ceb6cdc04ae07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.819ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}\times \dotsb \times V_{s}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Invarianten_von_Tensoren_1._und_2._Stufe">Invarianten von Tensoren 1. und 2. Stufe</h3></div>

Als <a href="Invariante_(Mathematik)" title="Invariante (Mathematik)">Invarianten</a> eines ein- oder zweistufigen Tensors bezeichnet man Skalare, die sich unter orthogonalen Koordinatentransformationen des Tensors nicht ändern. Für Tensoren erster Stufe führt die Bildung der vom Skalarprodukt induzierten Norm zu einer Invarianten

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1}=x^{j}x_{j}=x'^{j}x'_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e50686605ecbebde27284f056d079778bd803655.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.684ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle I_{1}=x^{j}x_{j}=x'^{j}x'_{j}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei hier und im Folgenden wieder die einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Für Tensoren zweiter Stufe im dreidimensionalen euklidischen Raum lassen sich im Allgemeinen sechs irreduzible Invarianten (das heißt Invarianten, die nicht durch andere Invarianten ausgedrückt werden können) finden:

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

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</msub>

<msub>

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</msub>

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</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

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</msub>

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</mrow>

</msub>

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<mtd>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

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<msub>

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</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}I_{1}&=A_{ii}&&=\mathrm {Spur} \left(A\right)\;,\\I_{2}&=A_{ij}A_{ji}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\right)\;,\\I_{3}&=A_{ij}A_{ij}&&=\mathrm {Spur} \left(AA^{T}\right)\;,\\I_{4}&=A_{ij}A_{jk}A_{ki}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{3}\right)\;,\\I_{5}&=A_{ij}A_{jk}A_{ik}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}A^{T}\right)\;,\\I_{6}&=A_{ij}A_{jk}A_{lk}A_{il}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\left(A^{2}\right)^{T}\right)\end{alignedat}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e19006b8950f28289d380aa99cb6b1aa222fd5e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.505ex; width:39.176ex; height:22.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}I_{1}&=A_{ii}&&=\mathrm {Spur} \left(A\right)\;,\\I_{2}&=A_{ij}A_{ji}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\right)\;,\\I_{3}&=A_{ij}A_{ij}&&=\mathrm {Spur} \left(AA^{T}\right)\;,\\I_{4}&=A_{ij}A_{jk}A_{ki}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{3}\right)\;,\\I_{5}&=A_{ij}A_{jk}A_{ik}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}A^{T}\right)\;,\\I_{6}&=A_{ij}A_{jk}A_{lk}A_{il}&&=\mathrm {Spur} \left(A^{2}\left(A^{2}\right)^{T}\right)\end{alignedat}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Falle von symmetrischen Tensoren 2. Stufe (z. B. dem <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensor</a>) fallen die Invarianten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{2}=I_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{2}=I_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85d9a4dd4c36ee1468b6db7de6e8cfa3d5dc05e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.253ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{2}=I_{3}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{4}=I_{5}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{4}=I_{5}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93459641433c0c0b9e967edf59435acf0a6a7b43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.253ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{4}=I_{5}}" loading="lazy"> zusammen. Außerdem lässt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{6}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{6}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f16c22f5e2bf363944d7da266dd6769047108ccb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{6}}" loading="lazy"> über die anderen 3 Invarianten darstellen (ist also nicht mehr irreduzibel). Die <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> ist auch eine Invariante, sie lässt sich beispielsweise für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\times 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\times 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddc0d4d6106875f8006be1d898512ca5843bad8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3\times 3}" loading="lazy">-Matrizen über die irreduziblen Invarianten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03f18d041b2df30adef07164dbf285878893dedc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{1}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e3506ae39df854f347365bae6f326ef4f565be5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c23bfc1d965e20513c7eb2b7bfa252e1caadd43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{4}}" loading="lazy"> darstellen als<a href="#cite_note-6">[6]</a>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Det} (A)={\frac {1}{6}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}I_{1}I_{2}+{\frac {1}{3}}I_{4}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05e860c048e6743132b4415daa4d665f4d388c27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.19ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Det} (A)={\frac {1}{6}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}I_{1}I_{2}+{\frac {1}{3}}I_{4}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Für antisymmetrische Tensoren gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{1}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{1}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baf3e3cf555bed4f7cce11a56a8096c1dd02be6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.338ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{1}=0}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{2}=-I_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{2}=-I_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/621693daae3160b6ab59f5013e08ebcd0d93e4d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.061ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{2}=-I_{3}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{4}=-I_{5}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{4}=-I_{5}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50d934c43247da30a56032c1f5bc362bbb2ac368.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.322ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{4}=-I_{5}=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{6}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{6}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f16c22f5e2bf363944d7da266dd6769047108ccb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{6}}" loading="lazy"> lässt sich wieder auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e3506ae39df854f347365bae6f326ef4f565be5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.077ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{2}}" loading="lazy"> zurückführen.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Somit haben im dreidimensionalen euklidischen Raum symmetrische Tensoren 2. Stufe drei irreduzible Invarianten und antisymmetrische Tensoren 2. Stufe eine irreduzible Invariante.

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Hauptinvariante" title="Hauptinvariante">Hauptinvariante</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tensorprodukte_eines_Vektorraums_und_Symmetrie">Tensorprodukte eines Vektorraums und Symmetrie</h3></div>

Man kann das Tensorprodukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/550bb0f5937c9e4f7912c53bc95a4c3462e20442.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.138ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}V:=V\otimes V}" loading="lazy"> eines Vektorraumes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein <a href="Automorphismus" title="Automorphismus">Automorphismus</a> des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\otimes b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\otimes b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0cbce7e62beb79e21232a469bd7dcf458c1ad7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.068ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a\otimes b}" loading="lazy"> die Faktoren zu vertauschen:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi _{12}(a\otimes b):=b\otimes a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b651b4e020e0b44ee884dab61a60f82e87c0b5f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.309ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi _{12}(a\otimes b):=b\otimes a}" loading="lazy"></dd></dl>

Da das Quadrat dieser Abbildung die Identität ist, folgt, dass für die <a href="Eigenwerte_und_Eigenvektoren" title="Eigenwerte und Eigenvektoren">Eigenwerte</a> nur die Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.971ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pm 1}" loading="lazy"> in Frage kommen.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w\in V\otimes V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43ea2223f0d5b948508b553eb861913cfe881158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.92ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle w\in V\otimes V}" loading="lazy">, das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi _{12}(w):=w}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi _{12}(w):=w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f532360c4b3208dcc43aa38cfa13b33991a5d124.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi _{12}(w):=w}" loading="lazy"> erfüllt, heißt symmetrisch. Beispiele sind die Elemente</li></ul>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=a\odot b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b+b\otimes a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e3463e506e2d17c4e1cebdff6d640452da2ab1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.359ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle w=a\odot b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b+b\otimes a)}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Die Menge aller symmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{12})(V\otimes V)}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{12})(V\otimes V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1bcc803d773a58a4f7db197bf3614a4692595e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.113ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}V=(1+\Pi _{12})(V\otimes V)}" loading="lazy"> bezeichnet.</dd></dl></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w\in V\otimes V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43ea2223f0d5b948508b553eb861913cfe881158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.92ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle w\in V\otimes V}" loading="lazy">, das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi _{12}(w):=-w}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi _{12}(w):=-w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1aa4c9ba2230b9776d56554b21cc8371f83fe58d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.31ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi _{12}(w):=-w}" loading="lazy"> erfüllt, heißt antisymmetrisch oder alternierend. Beispiele sind die Elemente</li></ul>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=a\wedge b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b-b\otimes a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d546019fcc2290d95f234bcfddb5784e055a131a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.102ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle w=a\wedge b:={\frac {1}{2}}(a\otimes b-b\otimes a)}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Die Menge aller antisymmetrischen Tensoren der Stufe 2 wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12})(V\otimes V)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12})(V\otimes V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/994f9f6f3043aee4fafc5ce374a273c71f9d3a04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.855ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda ^{2}V:=(1-\Pi _{12})(V\otimes V)}" loading="lazy"> bezeichnet.</dd></dl></dd></dl>

Mittels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40dc8c1f4b95b5e20e0ae46d8d39a0588992862d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.758ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {T}}^{n+1}V:=V\otimes {\mathcal {T}}^{n}V}" loading="lazy"> können Tensorpotenzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi _{jk}=\Pi _{1j}\circ \Pi _{1k}\circ \Pi _{1j}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c98f7e0f98ed7a6c670d0dcf026c142836e87532.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.601ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi _{jk}=\Pi _{1j}\circ \Pi _{1k}\circ \Pi _{1j}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Injektives_und_projektives_Tensorprodukt">Injektives und projektives Tensorprodukt</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Injektives_Tensorprodukt" title="Injektives Tensorprodukt">Injektives Tensorprodukt</a> und <a href="Projektives_Tensorprodukt" title="Projektives Tensorprodukt">Projektives Tensorprodukt</a></div>

Falls die Vektorräume, die man miteinander tensorieren will, eine <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a> besitzen, so ist es wünschenswert, dass ihr Tensorprodukt ebenfalls eine Topologie besitzt. Es gibt natürlich viele Möglichkeiten, eine solche Topologie zu definieren. Das injektive beziehungsweise das projektive Tensorprodukt sind dafür jedoch eine natürliche Wahl.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tensoranalysis">Tensoranalysis</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Tensoranalysis" title="Tensoranalysis">Tensoranalysis</a></div>

Ursprünglich wurde der Tensorkalkül nicht in dem modernen hier vorgestellten algebraischen Konzept untersucht, sondern entstand aus Überlegungen zur Differentialgeometrie. Insbesondere <a href="Gregorio_Ricci-Curbastro" title="Gregorio Ricci-Curbastro">Gregorio Ricci-Curbastro</a> und sein Schüler <a href="Tullio_Levi-Civita" title="Tullio Levi-Civita">Tullio Levi-Civita</a> haben ihn entwickelt. Man nennt den Tensorkalkül daher auch Ricci-Kalkül. <a href="Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> griff den <a href="Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalkül</a> in seiner <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> auf, was diesem große Bekanntheit in der Fachwelt einbrachte. Die damaligen Tensoren werden heute als <a href="Tensorfeld" title="Tensorfeld">Tensorfelder</a> bezeichnet und spielen in der Differentialgeometrie auch heute noch eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu Tensoren sind Tensorfelder differenzierbare Abbildungen, die jedem Punkt des zugrundeliegenden (oft gekrümmten) Raums einen Tensor zuordnen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Formelsammlung_Tensoralgebra" title="Formelsammlung Tensoralgebra">Formelsammlung Tensoralgebra</a></li>

<li><a href="Formelsammlung_Tensoranalysis" title="Formelsammlung Tensoranalysis">Formelsammlung Tensoranalysis</a></li></ul>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Tensor" class="extiw external" title="wikt:Tensor">Wiktionary: Tensor</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Adalbert_Duschek" title="Adalbert Duschek">Adalbert Duschek</a>, August Hochrainer: <cite style="font-style:italic">Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung: I. Teil: Tensoralgebra</cite>. Vierte ergänzte Auflage. Springer-Verlag, Wien 1960 (V, 171 S., Erstausgabe: 1946).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tensor&rft.au=Adalbert+Duschek%2C+August+Hochrainer&rft.btitle=Grundz%C3%BCge+der+Tensorrechnung+in+analytischer+Darstellung%3A+I.+Teil%3A+Tensoralgebra&rft.date=1960&rft.edition=Vierte+erg%C3%A4nzte&rft.genre=book&rft.place=Wien&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<ul><li>Adalbert Duschek, August Hochrainer: <cite style="font-style:italic">Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung: II. Teil: Tensoranalysis</cite>. Zweite ergänzte Auflage. Springer-Verlag, Wien 1961 (VI, 334 S., Erstausgabe: 1950).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tensor&rft.au=Adalbert+Duschek%2C+August+Hochrainer&rft.btitle=Grundz%C3%BCge+der+Tensorrechnung+in+analytischer+Darstellung%3A+II.+Teil%3A+Tensoranalysis&rft.date=1961&rft.edition=Zweite+erg%C3%A4nzte&rft.genre=book&rft.place=Wien&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<ul><li>Adalbert Duschek, August Hochrainer: <cite style="font-style:italic">Grundzüge der Tensorrechnung in analytischer Darstellung: III. Teil: Anwendungen in Physik und Technik</cite>. Erste Auflage. Springer-Verlag, Wien 1955 (VI, 250 S.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tensor&rft.au=Adalbert+Duschek%2C+August+Hochrainer&rft.btitle=Grundz%C3%BCge+der+Tensorrechnung+in+analytischer+Darstellung%3A+III.+Teil%3A+Anwendungen+in+Physik+und+Technik&rft.date=1955&rft.edition=Erste&rft.genre=book&rft.place=Wien&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<ul><li>Adalbert Duschek: Der Tensorbegriff und seine Bedeutung für die Physik. Teil 1, 2, 3, Physikalische Blätter 1954, 1955:

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19540100902/abstract">Teil 1, Geometrische Grundlagen</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19540101002/abstract">Teil 2, Tensoralgebra</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19550110502/abstract">Teil 3, Tensoranalysis</a></li></ul></li></ul>

<ul><li><a href="Andr%C3%A9_Lichnerowicz" title="André Lichnerowicz">André Lichnerowicz</a>: Einführung in die Tensoranalysis (= BI Hochschultaschenbuch. 77). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1966.</li></ul>

<ul><li><a href="Horst_Teichmann" title="Horst Teichmann">Horst Teichmann</a>: Physikalische Anwendungen der Vektor- und Tensorrechnung (= BI-Hochschultaschenbücher. 39). 3. Auflage. <a href="Bibliographisches_Institut" title="Bibliographisches Institut">Bibliographisches Institut</a>, Mannheim u. a. 1973, ISBN 3-411-00039-2.</li></ul>

<ul><li><a href="Horst_Lippmann_(Mathematiker)" title="Horst Lippmann (Mathematiker)">Horst Lippmann</a>: Angewandte Tensorrechnung. Springer 1993.</li></ul>

<ul><li><a href="Karin_Reich" title="Karin Reich">Karin Reich</a>: Die Entwicklung des Tensorkalküls. Vom absoluten Differentialkalkül zur Relativitätstheorie. Birkhäuser 1994 (zur Geschichte).</li></ul>

<ul><li>Theodore Frankel: The Geometry of Physics. An Introduction. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1997, ISBN 0-521-38334-X.</li></ul>

<ul><li><a href="Ralph_Abraham_(Mathematiker)" title="Ralph Abraham (Mathematiker)">Ralph Abraham</a>, <a href="Jerrold_E._Marsden" class="mw-redirect" title="Jerrold E. Marsden">Jerrold E. Marsden</a>, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences. 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-96790-7.</li></ul>

<ul><li><a href="Theodor_Br%C3%B6cker" title="Theodor Bröcker">Theodor Bröcker</a>: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Birkhäuser, Basel 2004, ISBN 3-7643-2178-4, Kap. VII: Tensorrechnung.</li></ul>

<ul><li>Mikhail Itskov: Tensor algebra and tensor analysis for engineers. 3. Auflage. Springer, Heidelberg u. a. 2013, ISBN 978-3-642-30878-9.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>Georg Bernhardt: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.thaleskreis.de/materialien/tensoren.pdf">Über Tensoren, Matrizen und Pseudovektoren.</a> PDF, deutsch, 340 kB.</li>

<li>Joseph C. Kolecki: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf">An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering.</a> Einführung in die Tensorrechnung für Studenten, PDF, englisch, 328 kB, <a href="NASA" title="NASA">NASA</a>-Publikation.</li>

<li><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Tensorrechnung" class="extiw external" title="b:Einführung in die Tensorrechnung">Einführung in die Tensorrechnung.</a> (Wikibooks)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Ein elementarer Tensor (oder einfacher Tensor) bildet auf einen Zahlenwert (Skalar) ab.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Woldemar Voigt: <cite style="font-style:italic">Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung</cite>. Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 (VIII, 243 S., <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=JpenEAAAQBAJ">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tensor&rft.au=Woldemar+Voigt&rft.btitle=Die+fundamentalen+physikalischen+Eigenschaften+der+Krystalle+in+elementarer+Darstellung&rft.date=1898&rft.genre=book&rft.place=Leipzig&rft.pub=Verlag+von+Veit+%26+Comp." style="display:none">  Reprint 2021: de Gruyter, Berlin ISBN 978-3-11-243943-2. Voigt schreibt auf S. IV: „Ich habe deshalb, ebenso wie es die Bezeichnung „Vector“ thut, an einen speciellen und charakteristischen Vorgang angeknüpft und für jene zweiseitigen gerichteten Grössen den Namen „Tensoren“ in Vorschlag gebracht.“

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> M. M. G. Ricci, T. Levi-Civita: Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications. In: Mathematische Annalen. 54, 1901, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220025-5831%22&key=cql">0025-5831</a>, S. 125–201, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0054&DMDID=dmdlog11">online.</a>

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 172–179.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> R. Abraham, <a href="Jerrold_Marsden" title="Jerrold Marsden">Jerrold E. Marsden</a>, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 338–339.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Kerstin Weinberg: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20171107055217/http://www.mb.uni-siegen.de/fkm/lehre/konti2012_files/skript1-3.pdf">Vorlesungsskript. Tensoralgebra und -Analysis.</a> (PDF; 235 kB) <a href="Universit%C3%A4t_Siegen" title="Universität Siegen">Universität Siegen</a>, 24. Oktober 2012, abgerufen am 27. November 2020.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ATensor&rft.title=Vorlesungsskript.+Tensoralgebra+und+-Analysis&rft.description=Vorlesungsskript.+Tensoralgebra+und+-Analysis&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20171107055217%2Fhttp%3A%2F%2Fwww.mb.uni-siegen.de%2Ffkm%2Flehre%2Fkonti2012_files%2Fskript1-3.pdf&rft.creator=Kerstin+Weinberg&rft.publisher=%5B%5BUniversit%C3%A4t+Siegen%5D%5D&rft.date=2012-10-24">  Archivlink abgerufen am 5. Dezember 2024

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Heinz Schade, Klaus Neemann: <cite style="font-style:italic">Tensoranalysis</cite>. 2. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2006, ISBN 3-11-018943-7, S. 277 ff.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tensor&rft.au=Heinz+Schade%2C+Klaus+Neemann&rft.btitle=Tensoranalysis&rft.date=2006&rft.edition=2.+%C3%BCberarbeitete&rft.genre=book&rft.isbn=3110189437&rft.pages=277+ff.&rft.place=Berlin+%2F+New+York&rft.pub=de+Gruyter" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</body></html>